DOSIMETRIA DE FONTES LINEARES

 Fausto Mafra Neto – MSc. 

Mestre em Ciências e Técnicas Nucleares pelo DEN – UFMG.

Dezembro de 2022

Este trabalho foi, originalmente, publicado em janeiro de 1992 pela revista SPIN – Ensino e Pesquisa, Caderno do Departamento de Física e Química da PUC-Minas, (veículo de comunicação extinto).

Resumo

É propósito deste trabalho apresentar uma formulação alternativa para obtenção da dose de radiação gama de uma fonte linear. No momento em que foi realizado este trabalho, o material de uso corrente era o 137Cs com filtração de platina.

A formulação original, denominada integral de Sievert, não tem solução analítica O problema apresenta duas dificuldades: a filtração oblíqua da radiação ao atravessar a parede da platina, em diferentes direções, e a correção da dose devido ao espalhamento pelo meio material da propagação.

Introdução

Este trabalho é um exercício de cálculo e computação para o que se faz uso de um problema antigo que é a integral de Sievert. Os objetivos são o estudo e a determinação da intensidade de raios gama, provenientes de fontes lineares. Os resultados aqui apresentados referem-se à radiação gama de uma fonte CDC-J, de 137Cs, de fabricação AMERSHANN. O espectro de energia dessa fonte apresenta um único pico de 0,6MeV com meia vida de 30 anos.

A massa radioativa é envolvida por uma camada de platina formando um tubo cuja finalidade é barrar as partículas beta. O comprimento da fonte varia de acordo com o fabricante e é escolhido conforme a necessidade. Para este trabalho considera-se a fonte de 137Cs, já citada anteriormente, com um comprimento ativo de 1,35cm e um comprimento total de 2,0cm, incluindo o filtro de platina cujas paredes laterais medem 0,058cm de espessura.

Métodos de obtenção da intensidade

O fato de ser esta uma fonte extensa, linear, torna os cálculos bastante complicados e exige o uso de métodos computacionais para determinação da intensidade.

Quando se deseja conhecer a intensidade em pontos relativamente afastados da fonte, por exemplo, 7 ou 8 centímetros, é usual supor toda a massa radioativa concentrada no centro geométrico do tubo e operar considerando o decaimento exponencial através da platina e a variação com o inverso do quadrado da distância. A exposição em Roentgens por hora é dada por:

na qual,

Os valores de I, em R/mgh dados pela relação (1) para diversos valores de r, são mostrados na tabela 01.

Para determinar a intensidade em pontos mais próximos da fonte, por exemplo 2 ou 3cm, obtêm-se resultados mais precisos se é levado em conta todo o comprimento ativo. Divide-se a fonte em duas, três, quatro, cinco ou mais partes e distribui-se a massa radioativa entre elas.

A intensidade devida a cada fração da fonte é dada pela relação (2)

Cuja precisão é função do número de divisões da fonte.

O resultado mostrado na tabela 02 converge para o valor verdadeiro que pode ser obtido tomando-se um número infinito de divisões da fonte e somando-se as contribuições através da expressão (4) que foi originalmente proposta, em 1921, por Rolf Sievert (Johns e Cuningan, 1969).

A integral de Sievert não tem solução analítica na forma apresentada, sendo calculada por método numérico. Desde a década de 1950 diversas soluções têm sido propostas, destacando-se os trabalhos de Shalek e Stovall (1967) e Breitman (1974).

Solução da integral de Sievert

A dificuldade na solução da integral de Sievert, eq. (4) encontra-se na exponencial que contém o termo   d/cosq  . Para simplificar o problema considere-se o tubo CDC-J, no plano, com a origem do sistema de coordenadas em seu centro geométrico, fig. (4).

Propõe-se aqui uma solução, considerando observadores nos pontos de coordenadas (x,y), em relação ao centro do tubo, com base no seguinte argumento:

em média, o que é visto de cada ponto?

Vê-se na figura 4 que, para cada ponto de coordenadas (x,y), a radiação atravessa diferentes espessuras médias da parede de platina e percorre distâncias médias rm diferentes.

Daí a integral de Sievert tornar-se:

Onde dm é a espessura média que a radiação deverá atravessar na parede de platina para alcançar o ponto (x,y). Neste caso dm (x,y) é uma constante para cada ponto.

Expressando  r  como função de y  e  dx  como função de q, segue que:

Absorção da radiação pelo meio de propagação

Para comparar os resultados desta solução com aqueles apresentados por Breitman, os quais são recomendados pela Agência Internacional de Energia Atômica, foi necessário levar em conta a absorção da radiação pelo meio material de propagação com as consequentes adaptações a este método de cálculo.

Encontra-se na literatura, (Shalek and Stovall, 1968), que a absorção da radiação pelo tecido biológico mole, ou músculo, é dada pelo fator

Sendo que A, B, C e D são constantes características de cada material radioativo. Para a fonte de 137Cs foram adotados os seguintes valores:

A = 1,0091              C = - 0,0003459

B = - 0,009015.     D = - 0,00002817

Aqui r deve ser a média das distâncias às extremidades do comprimento ativo, o que é realmente visto pelo observador no ponto (x,y).

Cálculo da intensidade de dose

A intensidade da dose, em cada ponto de coordenadas (x,y), foi calculada nas seguintes condições:

Análise e conclusão

É fácil concluir que a integral de Sievert é definida para pontos situados diante da parede lateral do tubo,  como na região A mostrada na Fig. 5

Aí, nesta região, os resultados concordam com aqueles apresentados por Breitman com uma variação percentual média de ± 0,5%.

Na região B a integral de Sievert não é definida para todos os pontos da carga radioativa e aí os resultados apresentam uma variação percentual média até ± 3%.

 Na região C o expoente d/cosq  não representa a parede atravessada pela radiação, podendo gerar resultados absurdos. Não serão, portanto, apresentados resultados nessa região, principalmente por ser essa uma região sem interesse prático.

Dos resultados apresentados conclui-se que o método estudado é bom, simples, possível de ser realizado e, praticamente tão eficiente quanto os demais apresentados até o momento, além de dispensar os serviços especializados de computação, o que permite a qualquer serviço de Física Radiológica realizar cálculos diretos de doses provenientes de fontes lineares, retilíneas, com maior eficiência e sem dúvida.

Bibliografia

Batteu, G. W. - The M. D. Anderson Method for the computation of isodose curves around intersticial and intracavitary radiation source.  1968 II. Mathematical and computational aspects. A.J.R., Radium Therapy and Nuclear Medicine, Vol. cII, no3, 673-676, 1968.

Breitman, K. E. R. - Dose-rate tables for clinical 137Cs sources sheathed in platinum, 1974, B.J.R.,47, 657-664, 1974.

Johns, H. E., Cuningan Jr., - The Physics of Radiology 3_0  ed. Charles Thomas, Springfield, Ilinois 1969. Table A-8, 738-741.

Meredith, W. - Radium Dosage. The Manchester System. Edinburgo: Livingstone, 1967.

Paterson, R. The Tretment of Malignant Disease by Radio Therapy. Edward Arnold Ltd, London 1963.

Shalek, R. J., Stovall, M. Al – The M. D. Anderson Method for computation of isodose curves around intersticial and intracavitary radiation sources. 1968. I: Dose from linear souces A. J. R., Radiation Therapy and Nuclear Medicine, 102, 662 – 672.